Esboce o gráfico de r(t) e mostre o sentido de t crescente.
r(t) = t i + t j + sen(t) k ; 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu pra esboçar o gráfico da função vetorial e mostrar como ela se move conforme aumenta de até . Isso envolve entender vetores no espaço tridimensional, parametrização de curvas e como as componentes , e influenciam o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função vetorial:
Aqui, , e . Isso significa que conforme varia, tanto quanto aumentam linearmente com , enquanto oscila entre e de acordo com a função seno.

Passo 3

Vamos analisar o que isso representa geometricamente. Como , a curva está no plano onde , ou seja, uma diagonal de 45 graus no plano . Conforme aumenta, a posição se move nessa diagonal para frente.

Passo 4

Agora, a componente faz a curva oscilar para cima e para baixo desse plano diagonal. Então, a curva vai subir e descer enquanto se move na direção .

Passo 5

Para esboçar, imagine uma linha reta que vai aumentando nos eixos e , e ao mesmo tempo, essa linha está “vibrando” para cima e para baixo no eixo . O resultado é uma hélice plana, mas ao invés de circular, ela se move em uma diagonal.

Passo 6

Quanto ao sentido de crescente, começa em e vai até . No início, , então o ponto começa na origem . Conforme aumenta, a curva se move para frente na diagonal enquanto sobe e desce, completando um ciclo completo de quando chega a .

Resposta

Portanto, o gráfico de é uma hélice diagonal que se estende ao longo da linha no espaço tridimensional, com oscilando entre e . Conforme aumenta de a , a curva se move para frente nessa diagonal, completando uma oscilação completa no eixo .

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