(a) Obtenha o corte com o eixo y da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial r = (3 + 2t) i + 5t j
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta
r = t i + (1 + 2 t) j - 3 t k
intersecta o plano 3x - y - z = 2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que cada parte da questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. No item (a), temos uma reta representada por uma equação vetorial no espaço bidimensional e precisamos encontrar onde essa reta corta o eixo . Isso envolve entender equações paramétricas de retas e interceptos com os eixos coordenados. No item (b), temos uma reta no espaço tridimensional e um plano, e precisamos encontrar o ponto de interseção entre eles. Aqui, vamos usar conceitos de equações paramétricas de retas e equações de planos.

Passo 2

Item (a): Primeiro, vamos interpretar a equação vetorial da reta no plano bidimensional:
Isso significa que as coordenadas e de qualquer ponto na reta podem ser expressas como funções de :
Para encontrar o corte com o eixo , precisamos encontrar o ponto onde a reta cruza o eixo . No eixo , a coordenada é zero. Então, vamos achar o valor de quando .

Passo 3

Construindo a equação para :
Resolvendo para :
Agora que temos , vamos substituir esse valor na equação de para encontrar o valor correspondente de :

Passo 4

Item (b): Agora, vamos para a reta e o plano no espaço tridimensional.
A equação vetorial da reta é:
Isso nos dá as equações paramétricas:
O plano é dado pela equação:
Queremos encontrar o valor de que satisfaz essa equação quando substituímos , e pelas expressões paramétricas.

Passo 5

Substituindo as equações paramétricas na equação do plano:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:
Agora, resolvemos para :

Passo 6

Agora que temos , substituímos esse valor nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

(a) O corte com o eixo da reta é no ponto .
(b) A reta intersecta o plano no ponto .

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Calcule o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do versor u.
f(x, y, z) = raiz(x + y * z) ; P = (1, 3, 1) ; u = <2/7, 3/7, 6/7>.
Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
x^2 + x*y + y^3 = 1
no ponto onde x = 1.
Seja f(x)= 3-x, & se x<2 x2+1, & se x>2
© Determine lim x 4^+ f(x) e lim x 4^- f(x).
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via varepsilon e de ) que lim x p f(x)=l nos casos seguintes.
© f(x)=-x^2, p=0, l=0