(a) Obtenha o corte com o eixo
da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta
intersecta o plano
.
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que cada parte da questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar para resolver. No item (a), temos uma reta representada por uma equação vetorial no espaço bidimensional e precisamos encontrar onde essa reta corta o eixo
. Isso envolve entender equações paramétricas de retas e interceptos com os eixos coordenados. No item (b), temos uma reta no espaço tridimensional e um plano, e precisamos encontrar o ponto de interseção entre eles. Aqui, vamos usar conceitos de equações paramétricas de retas e equações de planos.
Passo 2
Item (a): Primeiro, vamos interpretar a equação vetorial da reta no plano bidimensional:
Isso significa que as coordenadas
e
de qualquer ponto na reta podem ser expressas como funções de
:
Para encontrar o corte com o eixo
, precisamos encontrar o ponto onde a reta cruza o eixo
. No eixo
, a coordenada
é zero. Então, vamos achar o valor de
quando
.
Passo 3
Construindo a equação para
:
Resolvendo para
:
Agora que temos
, vamos substituir esse valor na equação de
para encontrar o valor correspondente de
:
Passo 4
Item (b): Agora, vamos para a reta e o plano no espaço tridimensional.
A equação vetorial da reta é:
Isso nos dá as equações paramétricas:
O plano é dado pela equação:
Queremos encontrar o valor de
que satisfaz essa equação quando substituímos
,
e
pelas expressões paramétricas.
Passo 5
Substituindo as equações paramétricas na equação do plano:
Simplificando:
Combine os termos semelhantes:
Agora, resolvemos para
:
Passo 6
Agora que temos
, substituímos esse valor nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Resposta
(a) O corte com o eixo
da reta é no ponto
.
(b) A reta intersecta o plano no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente de
no ponto
e determine a taxa de variação de
em
na direção do versor
.
.
Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
no ponto onde
.
Seja
© Determine .
© Determine
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via
e
) que
nos casos seguintes.
©
©