Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
no ponto onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar a derivação implícita e encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender como funciona a derivação implícita, que é uma técnica usada quando está misturado com na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o ponto exato na curva onde . Substituímos por 1 na equação da curva:
Simplificando:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá ou . Como estamos trabalhando com números reais, a única solução válida é . Então, o ponto de interesse é .
Passo 3
Agora, vamos usar a derivação implícita para encontrar a derivada . Diferenciamos ambos os lados da equação da curva em relação a :
Calculando cada termo:
Passo 4
Vamos isolar :
Fatorando :
Finalmente, dividimos para obter :
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 6
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .