Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
x^2 + x*y + y^3 = 1
no ponto onde x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar a derivação implícita e encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender como funciona a derivação implícita, que é uma técnica usada quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o ponto exato na curva onde . Substituímos por 1 na equação da curva:
Simplificando:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá ou . Como estamos trabalhando com números reais, a única solução válida é . Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, vamos usar a derivação implícita para encontrar a derivada . Diferenciamos ambos os lados da equação da curva em relação a :
Calculando cada termo:

Passo 4

Vamos isolar :
Fatorando :
Finalmente, dividimos para obter :

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de r(t) e mostre o sentido de t crescente.
r(t) = t i + t j + sen(t) k ; 0 <= t <= 2 pi
Esboce a curva de interseção das superfícies e obtenha uma equação vetorial para a curva em termos do parâmetro x = t.
y = x, x + y + z = 1
Calcule o gradiente de f no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do versor u.
f(x, y, z) = raiz(x + y * z) ; P = (1, 3, 1) ; u = <2/7, 3/7, 6/7>.
(a) Obtenha o corte com o eixo y da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial r = (3 + 2t) i + 5t j
(b) Obtenha as coordenadas do ponto em que a reta
r = t i + (1 + 2 t) j - 3 t k
intersecta o plano 3x - y - z = 2.