Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
x^2 + x*y + y^3 = 1
no ponto onde x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar a derivação implícita e encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Para isso, vamos precisar entender como funciona a derivação implícita, que é uma técnica usada quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o ponto exato na curva onde . Substituímos por 1 na equação da curva:
Simplificando:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá ou . Como estamos trabalhando com números reais, a única solução válida é . Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, vamos usar a derivação implícita para encontrar a derivada . Diferenciamos ambos os lados da equação da curva em relação a :
Calculando cada termo:

Passo 4

Vamos isolar :
Fatorando :
Finalmente, dividimos para obter :

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .

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