Calcule o gradiente das seguintes funções:
(j) f(x, y, z) = e^(z^2) + y ln(x^2 + 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de gradiente! A função que a gente tem é:
Aqui, a gente vai precisar saber sobre derivadas parciais e como calcular o gradiente de uma função. O gradiente é basicamente um vetor que mostra a direção e a taxa de variação mais rápida da função em cada ponto. Vamos calcular as derivadas parciais em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função tem duas partes: que não depende de , e . A derivada da constante em relação a é zero.
Agora, derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Na função , a única parte que depende de é . A derivada dessa parte em relação a é simplesmente:
A outra parte, , não depende de , então sua derivada é zero.

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, a parte que depende de é . Aplicando a regra da cadeia:
A outra parte, , não depende de , então sua derivada é zero.

Resposta

O gradiente da função é então:

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