Calcule o gradiente das seguintes funções:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de gradiente! A função que a gente tem é:
Aqui, a gente vai precisar saber sobre derivadas parciais e como calcular o gradiente de uma função. O gradiente é basicamente um vetor que mostra a direção e a taxa de variação mais rápida da função em cada ponto. Vamos calcular as derivadas parciais em relação a
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
tem duas partes:
que não depende de
, e
. A derivada da constante
em relação a
é zero.
Agora, derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Na função
, a única parte que depende de
é
. A derivada dessa parte em relação a
é simplesmente:
A outra parte,
, não depende de
, então sua derivada é zero.
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui, a parte que depende de
é
. Aplicando a regra da cadeia:
A outra parte,
, não depende de
, então sua derivada é zero.
Resposta
O gradiente da função é então: