Explique por que são falsas as seguintes afirmações.
(b) Se f_x(0,0) = g_x(0,0) e f_y(0,0) = g_y(0,0), então as superfícies z = f(x, y) e z = f(x, y) têm o mesmo plano tangente no ponto ( 0,0 ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas funções, e , que definem superfícies no espaço. O enunciado diz que as derivadas parciais de e em relação a e no ponto são iguais. A gente precisa explicar por que, mesmo assim, as superfícies e não necessariamente têm o mesmo plano tangente nesse ponto. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e planos tangentes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um plano tangente. Para uma superfície no ponto , o plano tangente é dado por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, temos as superfícies e . O plano tangente à no ponto é:
E o plano tangente à no mesmo ponto é:

Passo 4

O enunciado nos dá que e . Isso significa que os coeficientes de e nos planos tangentes são iguais. Mas falta considerar o termo constante, que é para e para .

Passo 5

Se apenas os coeficientes de e forem iguais, mas , os planos tangentes serão paralelos, mas não iguais. Ou seja, mesmo com as derivadas parciais iguais, se os valores das funções no ponto não são iguais, os planos tangentes não coincidem.

Resposta

Portanto, a afirmação é falsa porque, mesmo com e , se , as superfícies e não têm o mesmo plano tangente no ponto .

Exercícios relacionados