Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(b) f(x, y) = sen(x^2) + cos(y), (raiz(pi) / 2, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de em relação a . A função é . A derivada parcial de em relação a é:
Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , a segunda derivada é zero. Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Novamente, a função é . A derivada parcial de em relação a é:
Aqui, é tratado como uma constante, então a primeira derivada é zero. Portanto:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente da função é dado por:

Passo 5

Por fim, vamos avaliar o gradiente no ponto específico . Substituindo e nas expressões das derivadas:
Para a componente :
Para a componente :

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

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