Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o gradiente da função
no ponto
. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
. A função é
. A derivada parcial de
em relação a
é:
Como
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, a segunda derivada é zero. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, a função é
. A derivada parcial de
em relação a
é:
Aqui,
é tratado como uma constante, então a primeira derivada é zero. Portanto:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente da função
é dado por:
Passo 5
Por fim, vamos avaliar o gradiente no ponto específico
. Substituindo
e
nas expressões das derivadas:
Para a componente
:
Para a componente
:
Resposta
O gradiente da função
no ponto
é: