Considere as seguintes funções
(a) Com base nos limites calculados na questão 5, quais das funções possui reta assíntota vertical? Dê a equação da reta e justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos quatro funções:
A pergunta é: Quais dessas funções têm reta assíntota vertical? Dê a equação da reta e justifique a sua resposta.
Vamos resolver isso passo a passo, entendendo o que é uma reta assíntota vertical e como identificá-la em cada função.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é uma reta assíntota vertical. Uma reta vertical
é uma assíntota vertical de uma função se, quando
se aproxima de
, o valor da função cresce sem limite positivo ou negativo. Isso geralmente acontece quando o denominador da fração é zero e o numerador não é zero naquele ponto.
Então, nossa estratégia será verificar onde o denominador de cada função é igual a zero e verificar se o numerador não é zero nesse mesmo ponto.
Passo 3
Vamos começar com a primeira função:
Denominador:
Para encontrar onde o denominador é zero, resolvemos:
Agora, verificamos o numerador em
:
Então, em
, o denominador é zero e o numerador não é zero. Isso significa que
tem uma assíntota vertical em
.
Passo 4
Vamos para a segunda função:
Denominador:
Para encontrar onde o denominador é zero:
No conjunto dos números reais,
sempre é positivo ou zero, então não existem valores reais de
que satisfaçam essa equação. Portanto,
não tem assíntotas verticais.
Passo 5
Agora, a terceira função:
Denominador:
Vamos tentar encontrar se há algum
real que faz o denominador ser zero. Observando o denominador:
Para
real,
é sempre positivo ou zero, e
para
real não pode tornar o denominador zero, já que
domina o comportamento para
grande e não há solução real para
. Portanto,
não tem assíntotas verticais.
Passo 6
Finalmente, a quarta função:
Denominador:
Para encontrar onde o denominador é zero, resolvemos:
Agora, verificamos o numerador em
:
Neste caso, tanto o numerador quanto o denominador são zero em
. Isso significa que a função pode ter um ponto removível (ou seja, um buraco) em vez de uma assíntota vertical. Portanto,
não possui uma assíntota vertical.
Resposta
A única função que possui reta assíntota vertical é
com a equação da reta assíntota sendo
.