Considere as seguintes funções
f(x) = 2^x / (x - 2) g(x) = (1 + x^2 + x^6) / (x^4 + 1) h(x) = (-4 x^6 + x^2) / (2 x^6 + x + 2) m(x) = (x^2 + 2 x - 8) / (x + 4)
(a) Com base nos limites calculados na questão 5, quais das funções possui reta assíntota vertical? Dê a equação da reta e justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. Temos quatro funções:
A pergunta é: Quais dessas funções têm reta assíntota vertical? Dê a equação da reta e justifique a sua resposta.
Vamos resolver isso passo a passo, entendendo o que é uma reta assíntota vertical e como identificá-la em cada função.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é uma reta assíntota vertical. Uma reta vertical é uma assíntota vertical de uma função se, quando se aproxima de , o valor da função cresce sem limite positivo ou negativo. Isso geralmente acontece quando o denominador da fração é zero e o numerador não é zero naquele ponto.
Então, nossa estratégia será verificar onde o denominador de cada função é igual a zero e verificar se o numerador não é zero nesse mesmo ponto.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função:
Denominador:
Para encontrar onde o denominador é zero, resolvemos:
Agora, verificamos o numerador em :
Então, em , o denominador é zero e o numerador não é zero. Isso significa que tem uma assíntota vertical em .

Passo 4

Vamos para a segunda função:
Denominador:
Para encontrar onde o denominador é zero:
No conjunto dos números reais, sempre é positivo ou zero, então não existem valores reais de que satisfaçam essa equação. Portanto, não tem assíntotas verticais.

Passo 5

Agora, a terceira função:
Denominador:
Vamos tentar encontrar se há algum real que faz o denominador ser zero. Observando o denominador:
Para real, é sempre positivo ou zero, e para real não pode tornar o denominador zero, já que domina o comportamento para grande e não há solução real para . Portanto, não tem assíntotas verticais.

Passo 6

Finalmente, a quarta função:
Denominador:
Para encontrar onde o denominador é zero, resolvemos:
Agora, verificamos o numerador em :
Neste caso, tanto o numerador quanto o denominador são zero em . Isso significa que a função pode ter um ponto removível (ou seja, um buraco) em vez de uma assíntota vertical. Portanto, não possui uma assíntota vertical.

Resposta

A única função que possui reta assíntota vertical é com a equação da reta assíntota sendo .

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