Calcule o gradiente das seguintes funções:
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função . O gradiente é um conceito de cálculo multivariável que nos ajuda a encontrar a direção de crescimento mais rápido de uma função. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que é . A função é uma função composta, então vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, identifique a parte interna da função:
Então, .

Passo 4

A derivada de em relação a é . Agora, multiplicamos pela derivada de em relação a :
Sabemos que .

Passo 5

Substituindo de volta na expressão:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Usamos o mesmo processo:

Passo 7

Por fim, calculamos a derivada parcial de em relação a , que é :

Resposta

O gradiente da função é dado por:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
Assinale nas afirmações verdadeiras e nas afirmações falsas. Justifique suas respostas.
) A função seno hiperbólico é par, isto é, para todo número real .
Assinale nas afirmações verdadeiras e nas afirmações falsas. Justifique suas respostas.
OCO (e)( ) A função inversa de é .
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(h)