Calcule o gradiente das seguintes funções:
(h) w = x * y / z

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função . Aqui, estamos lidando com cálculo de gradientes, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ou seja:
Isso significa que precisamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais individualmente.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , mantendo e constantes:
Aqui, e são tratados como constantes, então a derivada de em relação a é 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , mantendo e constantes:
Semelhante ao caso anterior, e são constantes, então a derivada de em relação a é 1:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , mantendo e constantes:
Aqui, é constante em relação a . A derivada de em relação a é , então:

Resposta

Portanto, o gradiente da função é:

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