Calcule o gradiente das seguintes funções:
(j) w = 1 / (x^2 + y^2 + z^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função . O assunto aqui é cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções de várias variáveis parciais e juntar essas derivadas em um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. Matematicamente, é representado por:
Então, nosso objetivo é encontrar , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . A função pode ser escrita como . Para derivar essa expressão, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . O processo é bem parecido:

Passo 5

Por fim, vamos derivar em relação a :

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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