Calcule o gradiente das seguintes funções:
(b)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular o gradiente da função . O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos dá uma ideia de como a função está mudando em cada direção. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que são como tiramos a derivada em relação a uma variável enquanto mantemos a outra fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial da função em relação a , ou seja, .
Temos:
Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então:
Calculando cada parte:
  • A derivada de em relação a é 1 (porque a derivada de é 1 e a de é 0).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial da função em relação a , ou seja, .
Usando a mesma regra do produto:
Calculando cada parte:
  • A derivada de em relação a é 1 (porque a derivada de é 1 e a de é 0).
  • A derivada de em relação a é (novamente, usando a regra da cadeia).
Então:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais em relação a e , podemos formar o gradiente da função. O gradiente é um vetor que contém essas derivadas parciais:
Substituindo o que encontramos:

Resposta

O gradiente da função é:

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Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(d)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(e)