Calcule o gradiente das seguintes funções:
(b)
(b)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa calcular o gradiente da função
. O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos dá uma ideia de como a função está mudando em cada direção. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que são como tiramos a derivada em relação a uma variável enquanto mantemos a outra fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial da função em relação a
, ou seja,
.
Temos:
Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Então:
Calculando cada parte:
- A derivada de
em relação a é 1 (porque a derivada de é 1 e a de é 0). - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial da função em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma regra do produto:
Calculando cada parte:
- A derivada de
em relação a é 1 (porque a derivada de é 1 e a de é 0). - A derivada de
em relação a é (novamente, usando a regra da cadeia).
Então:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais em relação a
e
, podemos formar o gradiente da função. O gradiente é um vetor que contém essas derivadas parciais:
Substituindo o que encontramos:
Resposta
O gradiente da função
é:
Exercícios relacionados
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(d)
(d)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(e)
(e)