Calcule o gradiente das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos mostra a direção em que a função cresce mais rápido. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Isso significa que vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais separadamente.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a
.
Temos:
Ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é:
A derivada de
em relação a
é zero, já que não há
nessa parte.
Passo 4
Agora, vamos derivar em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então, juntando as duas partes:
Passo 5
Por fim, vamos derivar em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então, a derivada parcial em
é:
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
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