Calcule o gradiente das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos mostra a direção em que a função cresce mais rápido. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Isso significa que vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais separadamente.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial em relação a .
Temos:
Ao derivar em relação a , tratamos e como constantes. A derivada de em relação a é:
A derivada de em relação a é zero, já que não há nessa parte.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Então, juntando as duas partes:

Passo 5

Por fim, vamos derivar em relação a .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Então, a derivada parcial em é:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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