Seja partial wpartial x+partial wpartial y+partial wpartial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(b) (b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação parcial e pede para verificar se a função satisfaz essa equação. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a , e e verificar se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função w = sen(2e^x + e^y) . Observamos que temos , o que é igual a . Então, podemos reescrever da seguinte forma:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos começar com a derivada parcial de partial wpartial x = cos(2e^x + e^y) cdot partialpartial x(2e^x + e^y) = cos(2e^x + e^y) cdot 2e^x em relação a partial wpartial y = cos(2e^x + e^y) cdot partialpartial y(2e^x + e^y) = cos(2e^x + e^y) cdot e^y :
partial wpartial z = 0
Em seguida, a derivada parcial de em relação a :
Por último, a derivada parcial de em relação a :
Isso porque a função não depende de , então a derivada em relação a é zero.

Passo 4

Agora, vamos somar essas derivadas parciais conforme a equação dada:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 2e^x cos(2e^x + e^y) + e^y cos(2e^x + e^y) + 0
Podemos fatorar cos(2e^x + e^y) cdot (2e^x + e^y) :
cos(2e^x + e^y) cdot (2e^x + e^y)
Então, temos:

Passo 5

Para que a função cos(2e^x + e^y) cdot (2e^x + e^y) = 0 satisfaça a equação , a expressão acima deve ser igual a zero:
Isso acontece se, ou ou .

Passo 6

Analisando as duas possibilidades:
  1. :
    A função cosseno é igual a zero para argumentos que são de , onde é um inteiro. Isso pode ocorrer para certos valores de e .
  2. :
    Como e são sempre positivos para quaisquer valores reais de e , essa soma nunca será zero.
Portanto, a única possibilidade é que a cosseno seja zero para determinados e .

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação para valores de e que tornam .

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