Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(b)
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a equação parcial
e pede para verificar se a função
satisfaz essa equação. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
e verificar se a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Observamos que temos
, o que é igual a
. Então, podemos reescrever
da seguinte forma:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos começar com a derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
:
Por último, a derivada parcial de
em relação a
:
Isso porque a função
não depende de
, então a derivada em relação a
é zero.
Passo 4
Agora, vamos somar essas derivadas parciais conforme a equação dada:
Podemos fatorar
:
Então, temos:
Passo 5
Para que a função
satisfaça a equação
, a expressão acima deve ser igual a zero:
Isso acontece se, ou
ou
.
Passo 6
Analisando as duas possibilidades:
-
:
A função cosseno é igual a zero para argumentosque são de , onde é um inteiro. Isso pode ocorrer para certos valores de e . -
:
Comoe são sempre positivos para quaisquer valores reais de e , essa soma nunca será zero.
Portanto, a única possibilidade é que a cosseno seja zero para determinados
e
.
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação
para valores de
e
que tornam
.
Exercícios relacionados
Calcule a Derivadas parciais de cada função: $(d)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(d)
$(d)
Desenhe as superfícies abaixo:
a.
a.
Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
$(d)
$(d)