Calcule o gradiente das seguintes funções:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função
. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais dessa função em relação às variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como
, é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, a função é:
Ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente juntando essas duas componentes:
Resposta
O gradiente da função
é:
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. Calcule:
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Seja
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