Calcule o gradiente das seguintes funções:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular as derivadas parciais dessa função em relação às variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como , é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Ao derivar em relação a , tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, a função é:
Ao derivar em relação a , tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente juntando essas duas componentes:

Resposta

O gradiente da função é:

Exercícios relacionados

Seja . Calcule:
Calcule
Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
Seja . Calcule: