Seja f(x, y)=e^2 x sen(y). Calcule: partial fpartial x(x, y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos lembrar como derivar funções que dependem de mais de uma variável.

Passo 2

A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis é a taxa de variação da função quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos derivar em relação a , tratando como uma constante.

Passo 3

Vamos identificar as partes da função que dependem de e as que não dependem. Na função , o termo depende de , enquanto é constante em relação a .

Passo 4

Aplicamos a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada de é . No nosso caso, e .

Passo 5

Calculamos as derivadas individuais:
  • (pela derivada da exponencial)
  • (já que é constante em relação a )

Passo 6

Aplicamos a regra do produto:
partial fpartial x = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 2e^2x cdot sin(y) + e^2x cdot 0 = 2e^2x sin(y)

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial x(x, y) = 2e^2x sin(y) em relação a é:

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