Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
integral8^x^2 e^2 t+3 d t

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral definida, que é basicamente somar todas as pequenas partes de uma função entre dois pontos. A função que vamos integrar é , e os limites de integração são de 8 até . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar a antiderivada de uma função exponencial e depois aplicar os limites para obter a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma antiderivada. A antiderivada de uma função é outra função cuja derivada nos dá de volta a função original. No nosso caso, queremos encontrar a antiderivada de .

Passo 3

Vamos calcular a antiderivada de integral e^2t + 3 dt = 12 e^2t + 3 + C . Para isso, usamos uma regra básica de integrais de funções exponenciais. A antiderivada de é , onde é uma constante. No nosso caso, , então:
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, vamos ignorar .

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração, que são de 8 até integral8^x^2 e^2t + 3 dt = [ 12 e^2t + 3 ]8^x^2 = 12 e^2x^2 + 3 - 12 e^2 cdot 8 + 3 . Isso significa que vamos calcular a antiderivada no ponto = 12 e^2x^2 + 3 - 12 e^19 e subtrair o valor da antiderivada no ponto 8:
Simplificando um pouco mais:

Passo 5

Por último, vamos determinar o domínio dessa função integral. O domínio depende dos limites de integração. Como x^2 >= 8 implies x >= raiz8 ou x <= -raiz8 é sempre maior ou igual a 0 para números reais x >= 2raiz2 ou x <= -2raiz2 , e estamos integrando a partir de 8, precisamos que seja pelo menos 8 para que o limite superior não seja menor que o inferior. Então:
Simplificando :

Resposta

A integral é igual a e seu domínio é ou .

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