Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular uma integral definida, que é basicamente somar todas as pequenas partes de uma função entre dois pontos. A função que vamos integrar é
, e os limites de integração são de 8 até
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como encontrar a antiderivada de uma função exponencial e depois aplicar os limites para obter a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma antiderivada. A antiderivada de uma função é outra função cuja derivada nos dá de volta a função original. No nosso caso, queremos encontrar a antiderivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a antiderivada de
. Para isso, usamos uma regra básica de integrais de funções exponenciais. A antiderivada de
é
, onde
é uma constante. No nosso caso,
, então:
Aqui,
é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, vamos ignorar
.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração, que são de 8 até
. Isso significa que vamos calcular a antiderivada no ponto
e subtrair o valor da antiderivada no ponto 8:
Simplificando um pouco mais:
Passo 5
Por último, vamos determinar o domínio dessa função integral. O domínio depende dos limites de integração. Como
é sempre maior ou igual a 0 para números reais
, e estamos integrando a partir de 8, precisamos que
seja pelo menos 8 para que o limite superior não seja menor que o inferior. Então:
Simplificando
:
Resposta
A integral é igual a
e seu domínio é
ou
.
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. Calcule:
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