Calcule
Passo 1
Oi! Vamos resolver o exercício de cálculo que envolve uma integral definida. O enunciado pede para calcular:
Vamos utilizar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas, especificamente as identidades de produto para soma, para simplificar a expressão e resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que ajuda a transformar o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade é:
Essa identidade é útil porque transforma o produto de funções trigonométricas em algo mais fácil de integrar.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso problema, onde
e
:
Agora, a integral original fica:
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
em relação a
é:
Passo 5
Aplicando a antiderivada às integrais:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, avaliamos as antiderivadas nos limites de integração de
a
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Calculando os valores de cosseno:
Passo 8
Substituindo os valores calculados:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Somando os resultados das duas integrais:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(g)
(g)
Seja
. Mostre que
, mas não existe um número
em
tal que
. Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Seja
. Calcule:
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(f)
(f)