Calcule
integral-pi / 2^pi / 2 sen 6 x cos 3 x d x

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício de cálculo que envolve uma integral definida. O enunciado pede para calcular:
integral-pi / 2^pi / 2 sin(6x) cos(3x) , dx
Vamos utilizar técnicas de integração envolvendo funções trigonométricas, especificamente as identidades de produto para soma, para simplificar a expressão e resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que ajuda a transformar o produto de seno e cosseno em uma soma de senos. A identidade é:
sin(A) cos(B) = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Essa identidade é útil porque transforma o produto de funções trigonométricas em algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso problema, onde sin(6x) cos(3x) = 12 [sin(6x + 3x) + sin(6x - 3x)] = 12 [sin(9x) + sin(3x)] e integral-pi / 2^pi / 2 sin(6x) cos(3x) , dx = 12 integral-pi / 2^pi / 2 [sin(9x) + sin(3x)] , dx :
Agora, a integral original fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integral-pi / 2^pi / 2 sin(9x) , dx + integral-pi / 2^pi / 2 sin(3x) , dx )
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C em relação a é:

Passo 5

Aplicando a antiderivada às integrais:
  1. Para integral sin(9x) , dx = -19 cos(9x) + C :
integral sin(3x) , dx = -13 cos(3x) + C
  1. Para :

Passo 6

Agora, avaliamos as antiderivadas nos limites de integração de -19 [cos(9 cdot pi2) - cos(9 cdot (-pi2))] a -13 [cos(3 cdot pi2) - cos(3 cdot (-pi2))] :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Calculando os valores de cosseno:


Passo 8

Substituindo os valores calculados:
  1. Para -19 (0 - 0) = 0 :
-13 (0 - 0) = 0
  1. Para :

Passo 9

Somando os resultados das duas integrais:
12 (0 + 0) = 0

Resposta

integral-pi / 2^pi / 2 sin(6x) cos(3x) , dx = 0

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