Calcule o gradiente das seguintes funções

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular o gradiente da função . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais para encontrar o gradiente. Para isso, precisamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas e hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Então, nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , .
A função é .
Para derivar em relação a , tratamos como constante. Vamos aplicar a regra do produto, já que temos três funções multiplicadas: , (constante em relação a ) e .
A derivada será:
Calculando cada derivada:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , .
A função é .
Para derivar em relação a , tratamos como constante. Novamente, aplicamos a regra do produto. Aqui, e são constantes em relação a , então só precisamos derivar .
A derivada será:
Calculando a derivada:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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I
Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Seja , onde é uma função diferenciável. Expresse em termos das derivadas parciais de .