Calcule o gradiente das seguintes funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de calcular o gradiente da função
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais para encontrar o gradiente. Para isso, precisamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas e hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis,
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja,
Então, nosso objetivo é encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
,
.
A função é
.
Para derivar em relação a
, tratamos
como constante. Vamos aplicar a regra do produto, já que temos três funções multiplicadas:
,
(constante em relação a
) e
.
A derivada será:
Calculando cada derivada:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
.
A função é
.
Para derivar em relação a
, tratamos
como constante. Novamente, aplicamos a regra do produto. Aqui,
e
são constantes em relação a
, então só precisamos derivar
.
A derivada será:
Calculando a derivada:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
I
Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Seja
, onde
é uma função diferenciável. Expresse
em termos das derivadas parciais de
.