Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a superfície
e um ponto específico
nessa superfície. Nosso objetivo é encontrar:
- A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
- As equações da reta normal ao gráfico da superfície nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para achar o plano tangente e determinar a normal.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nas direções
e
.
Essas derivadas são essenciais porque elas formam os coeficientes do plano tangente.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores dessas derivadas no ponto
.
Para
em
:
Para
em
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto
. Para isso, precisamos do vetor normal ao plano tangente, que é formado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Onde
são os componentes do vetor normal e
é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é
e as equações paramétricas da reta normal são:
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I
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