Determine, no ponto indicado, uma equação do plano tangente e equações da reta normal ao gráfico das superfícies abaixo

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a superfície e um ponto específico nessa superfície. Nosso objetivo é encontrar:
  1. A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
  2. As equações da reta normal ao gráfico da superfície nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para achar o plano tangente e determinar a normal.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nas direções e .
Essas derivadas são essenciais porque elas formam os coeficientes do plano tangente.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores dessas derivadas no ponto .
Para em :
Para em :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto . Para isso, precisamos do vetor normal ao plano tangente, que é formado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Onde são os componentes do vetor normal e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é e as equações paramétricas da reta normal são:

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