I integral 2 x^4-3 x^3+2 x^2-3 x+1x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular integral 2 x^4-3 x^3+2 x^2-3 x+1x^2+1 , dx. Esse exercício envolve um pouco de álgebra e cálculo integral, mais especificamente a técnica de divisão polinomial e a separação de frações. Vamos precisar dividir o polinômio do numerador pelo denominador para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão polinomial de 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x + 1 por x^2 + 1. Isso vai nos ajudar a simplificar a fração.

Passo 3

Dividindo 2x^4 por x^2, obtemos 2x^2. Multiplicamos 2x^2 por x^2 + 1 e subtraímos do numerador:
2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x + 1 - (2x^4 + 2x^2) = -3x^3 + 0x^2 - 3x + 1

Passo 4

Agora, dividimos -3x^3 por x^2, que dá -3x. Multiplicamos -3x por x^2 + 1 e subtraímos:
-3x^3 + 0x^2 - 3x + 1 - (-3x^3 - 3x) = 0x^3 + 0x^2 + 0x + 1

Passo 5

O resto da divisão é 1, então podemos escrever:
2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x + 1x^2 + 1 = 2x^2 - 3x + 1x^2 + 1

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral (2x^2 - 3x + 1x^2 + 1) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando 2x^2:
integral 2x^2 , dx = 2 cdot x^33 = 23x^3

Passo 8

Integrando -3x:
integral -3x , dx = -3 cdot x^22 = -32x^2

Passo 9

Integrando 1x^2 + 1:
Sabemos que integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x)

Passo 10

Juntando tudo:
23x^3 - 32x^2 + arctan(x) + C

Resposta

A integral é igual a 23x^3 - 32x^2 + arctan(x) + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados