Seja , onde é uma função diferenciável. Expresse em termos das derivadas parciais de .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: temos a função . Estamos trabalhando com derivadas parciais e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver isso. Basicamente, queremos encontrar como muda em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes internas da função . Vamos chamar:
Então, podemos reescrever como:
Agora fica mais fácil ver como depende de e através de e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Para isso, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula acima.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia, temos:
Essa é a derivada parcial de em relação a .

Passo 6

Agora, vamos fazer algo parecido para encontrar a derivada parcial de em relação a , que é :

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 8

Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia, obtemos:
Essa é a derivada parcial de em relação a .

Resposta

As derivadas parciais de em termos das derivadas parciais de são:

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