Seja
, onde
é uma função diferenciável. Expresse
em termos das derivadas parciais de
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: temos a função
. Estamos trabalhando com derivadas parciais e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver isso. Basicamente, queremos encontrar como
muda em relação a
e a
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes internas da função
. Vamos chamar:
Então, podemos reescrever
como:
Agora fica mais fácil ver como
depende de
e
através de
e
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para isso, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula acima.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Segundo, a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia, temos:
Essa é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 6
Agora, vamos fazer algo parecido para encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Passo 7
Calculamos as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Segundo, a derivada de
em relação a
:
Passo 8
Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia, obtemos:
Essa é a derivada parcial de
em relação a
.
Resposta
As derivadas parciais de
em termos das derivadas parciais de
são:
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e na direção de