Seja z=f(u^2+v^2, u v), onde f(x, y) é uma função diferenciável. Expresse partial zpartial u e partial zpartial v em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: temos a função . Estamos trabalhando com derivadas parciais e vamos precisar usar a regra da cadeia para resolver isso. Basicamente, queremos encontrar como muda em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes internas da função x = u^2 + v^2 . Vamos chamar:
y = u v
z = f(x, y)
Então, podemos reescrever como:
Agora fica mais fácil ver como depende de e através de e .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada parcial de partial zpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u em relação a , que é . Para isso, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula acima.
Primeiro, a derivada de partial xpartial u = partialpartial u(u^2 + v^2) = 2u em relação a partial ypartial u = partialpartial u(u v) = v :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia, temos:
partial zpartial u = partial fpartial x cdot 2u + partial fpartial y cdot v
Essa é a derivada parcial de em relação a .

Passo 6

Agora, vamos fazer algo parecido para encontrar a derivada parcial de partial zpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v em relação a , que é :

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de partial xpartial v = partialpartial v(u^2 + v^2) = 2v em relação a partial ypartial v = partialpartial v(u v) = u :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 8

Substituindo essas derivadas na expressão da regra da cadeia, obtemos:
partial zpartial v = partial fpartial x cdot 2v + partial fpartial y cdot u
Essa é a derivada parcial de em relação a .

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial u = 2u cdot partial fpartial x + v cdot partial fpartial y em termos das derivadas parciais de partial zpartial v = 2v cdot partial fpartial x + u cdot partial fpartial y são:

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