I=integral x^3-x^2+x-2x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar fazer uma divisão polinomial primeiro para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador (x^3 - x^2 + x - 2) - (x^3 + x) = -x^2 - 2 pelo denominador x^3-x^2+x-2x^2+1 = x + -x^2 - 2x^2+1 .
Dividindo por , obtemos . Agora, multiplicamos por , que dá .
Subtraímos isso do numerador:
Então, temos:

Passo 3

Agora, nossa integral fica dividida em duas partes:
I = integral x , dx + integral -x^2 - 2x^2+1 , dx
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 4

Primeiro, a integral de integral x , dx = x^22 + C é simples:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral -x^2 - 2 = -(x^2 + 1) -1 .
Perceba que:
-x^2 -2x^2+1 = -1 - 1x^2+1
Então,
integral -x^2 -2x^2+1 , dx = integral -1 , dx - integral 1x^2+1 , dx = -x - tan^-1(x) + C
Portanto,

Passo 6

Juntando tudo, temos:
I = x^22 - x - tan^-1(x) + C

Resposta

I = x^22 - x - tan^-1(x) + C

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