Calcule o gradiente das seguintes funções:
(f)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis, nesse caso, e . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , que é . A função é composta por uma função seno aplicada a . Usando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então,

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Como é tratada como uma constante quando derivamos em relação a , a derivada fica:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Novamente, usamos a regra da cadeia:

Passo 6

Derivando em relação a :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial em relação a :

Resposta

O gradiente da função é dado por:

Exercícios relacionados

Se e , encontre as seguintes funções e seus domínios:
Se e , encontre as seguintes funções e seus domínios:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. !.