Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty e^-n n !.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de teoria das séries e o teste da razão, que nos ajuda a analisar o comportamento dos termos da série conforme aumenta.

Passo 2

Vamos reescrever a série para facilitar a análise. Sabemos que sumn=1^infty ne^n é o mesmo que . Portanto, a série fica:
Isso nos mostra que cada termo da série é .

Passo 3

Para determinar a convergência da série, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste consiste em calcular o limite da razão entre o termo L = limn to infty | an+1an | e quando tende ao infinito:
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos calcular essa razão para nossa série:
an = ne^n e an+1 = n+1e^n+1
A razão fica:
an+1an = n+1e^n+1ne^n = n+1n times 1e
Simplificando:
an+1an = (1 + 1n) times 1e

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty (1 + 1n) times 1e = 1 times 1e = 1e tende ao infinito:
Sabemos que , então , que é menor que 1.

Passo 6

Como o limite , pelo teste da razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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