Teste a série alternada quanto à convergência ou divergência. sumn=1^infty (-1)^n-1raizn.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para testar se a série alternada sumn=1^infty (-1)^n-1raizn converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Série Alternada para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem considerar o sinal alternado. O termo geral é an = 1raizn.

Passo 3

O Teste da Série Alternada tem duas condições principais que precisamos verificar:
  1. A sequência an é decrescente.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero.

Passo 4

Vamos verificar se an é decrescente:
  • Temos an = 1raizn.
  • Conforme n aumenta, raizn também aumenta, fazendo com que an diminua.
  • Então, a sequência an é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty an = limn to infty 1raizn = 0

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas (a sequência é decrescente e o limite é zero), podemos concluir que a série alternada sumn=1^infty (-1)^n-1raizn converge.

Passo 7

Mas aí vem a pergunta: a série converge absolutamente ou condicionalmente? Para descobrir isso, vamos analisar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1raizn | = sumn=1^infty 1raizn

Passo 8

Essa é uma série p com p = 12. Sabemos que uma série p converge se, e somente se, p > 1. Aqui, p = 12 < 1, então a série dos valores absolutos diverge.

Resposta

A série alternada sumn=1^infty (-1)^n-1raizn converge de forma condicional.

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