Teste a série alternada quanto à convergência ou divergência. .
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para testar se a série alternada converge ou diverge. Vamos usar o Teste da Série Alternada para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série sem considerar o sinal alternado. O termo geral é .
Passo 3
O Teste da Série Alternada tem duas condições principais que precisamos verificar:
A sequência é decrescente.
O limite de quando tende ao infinito é zero.
Passo 4
Vamos verificar se é decrescente:
Temos .
Conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua.
Então, a sequência é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada estão satisfeitas (a sequência é decrescente e o limite é zero), podemos concluir que a série alternada converge.
Passo 7
Mas aí vem a pergunta: a série converge absolutamente ou condicionalmente? Para descobrir isso, vamos analisar a série dos valores absolutos:
Passo 8
Essa é uma série p com p = 12. Sabemos que uma série p converge se, e somente se, p > 1. Aqui, p = 12 < 1, então a série dos valores absolutos diverge.
Resposta
A série alternada sumn=1^infty (-1)^n-1raiznconverge de forma condicional.