Calcule o gradiente das seguintes funções:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
,
e
. Para isso, vamos precisar calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é representada por
. Observando a função,
aparece apenas dentro do cosseno. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
, e aplicamos a regra da cadeia.
Como
e
são consideradas constantes em relação a
, a segunda derivada é zero:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui,
aparece tanto no cosseno quanto no seno. Aplicamos a regra da cadeia para ambas as partes.
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui,
aparece apenas no seno, então aplicamos a derivada diretamente.
Como
e
são constantes em relação a
, a primeira derivada é zero:
Resposta
O gradiente da função é dado por: