Esboce o gráfico da função . Determine o conjunto imagem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função . Nosso objetivo é:
  1. Esboçar o gráfico dessa função.
  2. Determinar o conjunto imagem, ou seja, os possíveis valores que pode assumir.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funções absolutas funcionam e como elas afetam o gráfico da função. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Vamos começar identificando os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando e .
Resolvendo :
Resolvendo :
Esses pontos ( ) são onde as funções dentro dos valores absolutos mudam de sinal, e por isso, são importantes para dividir a análise em intervalos.

Passo 3

Agora, vamos dividir a linha dos números reais nos seguintes intervalos, baseados nos pontos críticos que encontramos:
Em cada intervalo, vamos analisar o sinal das expressões e , para simplificar a função .

Passo 4

Vamos analisar cada intervalo um por um:
1. :
  • , então:
    • (positivo)
    • (positivo)
Portanto:
2. :
  • , então:
    • (positivo)
    • (negativo)
Portanto:
3. :
  • , então:
    • (negativo)
    • (negativo)
Portanto:
4. :
  • , então:
    • (positivo)
    • (negativo)
Portanto:
5. :
  • , então:
    • (positivo)
    • (positivo)
Portanto:

Passo 5

Agora, resumindo as funções em cada intervalo:

Passo 6

Vamos analisar esses resultados para esboçar o gráfico:
  • Para e : . Isso são linhas horizontais no valor 3.
  • Para e : . São parábolas que abrem para cima.
  • Para : . Uma linha horizontal no valor -3.
Vamos identificar os pontos de transição para garantir que o gráfico seja contínuo.
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Isso mostra que o gráfico é contínuo nesses pontos de transição.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  1. Linhas horizontais em para e .
  2. Parábolas conectando os pontos a e a .
  3. Linha horizontal em para .

Resposta

O conjunto imagem da função é .

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