Esboce o gráfico da função
. Determine o conjunto imagem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função
. Nosso objetivo é:
- Esboçar o gráfico dessa função.
- Determinar o conjunto imagem, ou seja, os possíveis valores que
pode assumir.
Para resolver isso, vamos precisar entender como funções absolutas funcionam e como elas afetam o gráfico da função. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Vamos começar identificando os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal. Isso acontece quando
e
.
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Esses pontos (
) são onde as funções dentro dos valores absolutos mudam de sinal, e por isso, são importantes para dividir a análise em intervalos.
Passo 3
Agora, vamos dividir a linha dos números reais nos seguintes intervalos, baseados nos pontos críticos que encontramos:
Em cada intervalo, vamos analisar o sinal das expressões
e
, para simplificar a função
.
Passo 4
Vamos analisar cada intervalo um por um:
1.
:
-
, então:-
(positivo) -
(positivo)
-
Portanto:
2.
:
-
, então:-
(positivo) -
(negativo)
-
Portanto:
3.
:
-
, então:-
(negativo) -
(negativo)
-
Portanto:
4.
:
-
, então:-
(positivo) -
(negativo)
-
Portanto:
5.
:
-
, então:-
(positivo) -
(positivo)
-
Portanto:
Passo 5
Agora, resumindo as funções em cada intervalo:
Passo 6
Vamos analisar esses resultados para esboçar o gráfico:
-
Para
e : . Isso são linhas horizontais no valor 3. -
Para
e : . São parábolas que abrem para cima. -
Para
: . Uma linha horizontal no valor -3.
Vamos identificar os pontos de transição para garantir que o gráfico seja contínuo.
-
Em
: -
Em
: -
Em
: -
Em
:
Isso mostra que o gráfico é contínuo nesses pontos de transição.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- Linhas horizontais em
para e . - Parábolas
conectando os pontos a e a . - Linha horizontal em
para .
Resposta
O conjunto imagem da função
é
.
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Calcule o gradiente das seguintes funções:
(g)
(g)
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!.
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.
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(l)
(l)