Teste a convergência ou divergência das séries.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que testar se a série
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral, que ajuda a determinar a convergência de séries usando integrais. Para isso, vamos precisar entender como transformar a série em uma integral e avaliar o comportamento dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma série do tipo
, onde
é uma função positiva, contínua e decrescente para
, então a série converge se e somente se a integral
converge.
No nosso caso,
. Vamos verificar se
é positiva, contínua e decrescente para
(já que
não está definida).
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, vamos deixar
. Assim,
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Essa integral simplifica para:
A antiderivada de
é
, então avaliando de
até o infinito:
Passo 4
Como a integral diverge (tende ao infinito), pelo Teste da Integral, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.