Beleza, vamos lá! A gente tem que testar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral, que ajuda a determinar a convergência de séries usando integrais. Para isso, vamos precisar entender como transformar a série em uma integral e avaliar o comportamento dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma série do tipo , onde é uma função positiva, contínua e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, . Vamos verificar se é positiva, contínua e decrescente para (já que não está definida).
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, vamos deixar . Assim, , ou seja, . Substituindo na integral:
Essa integral simplifica para:
A antiderivada de é , então avaliando de até o infinito:
Passo 4
Como a integral diverge (tende ao infinito), pelo Teste da Integral, a série original também diverge.