Teste a convergência ou divergência das séries. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que testar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral, que ajuda a determinar a convergência de séries usando integrais. Para isso, vamos precisar entender como transformar a série em uma integral e avaliar o comportamento dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma série do tipo , onde é uma função positiva, contínua e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, . Vamos verificar se é positiva, contínua e decrescente para (já que não está definida).

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, vamos deixar . Assim, , ou seja, . Substituindo na integral:
Essa integral simplifica para:
A antiderivada de é , então avaliando de até o infinito:

Passo 4

Como a integral diverge (tende ao infinito), pelo Teste da Integral, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Esboce o gráfico da função . Determine o conjunto imagem.
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(g)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(l)
Se e , encontre as seguintes funções e seus domínios: