Teste a convergência ou divergência das séries. sumn=1^infty 1n raizln n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que testar se a série sumn=1^infty 1n raizln n converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Integral, que ajuda a determinar a convergência de séries usando integrais. Para isso, vamos precisar entender como transformar a série em uma integral e avaliar o comportamento dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se temos uma série do tipo sumn=k^infty f(n), onde f(n) é uma função positiva, contínua e decrescente para n >= k, então a série converge se e somente se a integral integralk^infty f(x) dx converge.
No nosso caso, f(n) = 1n raizln n. Vamos verificar se f(n) é positiva, contínua e decrescente para n >= 2 (já que ln 1 = 0 não está definida).

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
integral2^infty 1x raizln x dx
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, vamos deixar t = ln x. Assim, dt = 1x dx, ou seja, dx = x , dt. Substituindo na integral:
integralt=ln 2^infty 1x raizt cdot x , dt = integralln 2^infty 1raizt dt
Essa integral simplifica para:
integralln 2^infty t^-1/2 dt
A antiderivada de t^-1/2 é 2raizt, então avaliando de ln 2 até o infinito:
limb to infty 2raizb - 2raizln 2 = infty

Passo 4

Como a integral diverge (tende ao infinito), pelo Teste da Integral, a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n raizln n diverge.

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