Calcule o gradiente das seguintes funções:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que mostra as taxas de variação da função em relação a cada uma das suas variáveis. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é representado por
e é dado por:
Isso significa que precisamos calcular três derivadas parciais: uma em relação a
, outra em relação a
e a última em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Derivando cada termo em relação a
:
- Para o primeiro termo
, e são constantes em relação a , então a derivada é . - Para o segundo termo
, e são constantes, e a derivada de em relação a é . Então, a derivada é .
Somando as duas partes:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando cada termo em relação a
:
- Para o primeiro termo
, e são constantes, então a derivada é . - Para o segundo termo
, e são constantes, e a derivada de em relação a é 1. Então, a derivada é .
Somando as duas partes:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando cada termo em relação a
:
- Para o primeiro termo
, e são constantes, e a derivada de em relação a é . Então, a derivada é . - Para o segundo termo
, e são constantes, e a derivada de em relação a é 1. Então, a derivada é .
Somando as duas partes:
Resposta
O gradiente da função
é:
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