Calcule o gradiente das seguintes funções:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que mostra as taxas de variação da função em relação a cada uma das suas variáveis. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é representado por e é dado por:
Isso significa que precisamos calcular três derivadas parciais: uma em relação a , outra em relação a e a última em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  • Para o primeiro termo , e são constantes em relação a , então a derivada é .
  • Para o segundo termo , e são constantes, e a derivada de em relação a é . Então, a derivada é .
Somando as duas partes:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando cada termo em relação a :
  • Para o primeiro termo , e são constantes, então a derivada é .
  • Para o segundo termo , e são constantes, e a derivada de em relação a é 1. Então, a derivada é .
Somando as duas partes:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivando cada termo em relação a :
  • Para o primeiro termo , e são constantes, e a derivada de em relação a é . Então, a derivada é .
  • Para o segundo termo , e são constantes, e a derivada de em relação a é 1. Então, a derivada é .
Somando as duas partes:

Resposta

O gradiente da função é:

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