Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k) f(x, y, z) = arcsen(e^(-x^2 y^4 z^6))

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função . O conteúdo que estamos trabalhando aqui é o cálculo de gradientes, que envolve derivadas parciais. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja,
Então, nosso objetivo é encontrar cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é .
Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Então,
Agora, derivamos em relação a :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a mesma regra da cadeia,
Derivando em relação a :
Assim,

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, aplicando a regra da cadeia,
Derivando em relação a :
Portanto,

Resposta

O gradiente da função é dado por:

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