Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k)
(k)
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular o gradiente da função . O conteúdo que estamos trabalhando aqui é o cálculo de gradientes, que envolve derivadas parciais. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja,
Então, nosso objetivo é encontrar cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é .
Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a
é
. Então,
Agora, derivamos
em relação a
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma regra da cadeia,
Derivando
em relação a
:
Assim,
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, aplicando a regra da cadeia,
Derivando
em relação a
:
Portanto,
Resposta
O gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de uma superfície no espaço cujo plano tangente no ponto
é
.
Considere o escoamento de um fluido em uma tubulação circular reta. A velocidade do escoamento, em
, é dada por
, considerando
pontos da seção transversal do tubo circular reto de raio
centrado na origem. Qual a velocidade média do escoamento?
Suponhamos que
e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada
, no plano-
. Encontre a área da superfície do cone
que está localizada dentro do cilindro
.
Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
©
©