Dê um exemplo de uma superfície no espaço cujo plano tangente no ponto
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma superfície no espaço cujo plano tangente no ponto
seja exatamente o plano
. Isso tudo tá ligado ao conteúdo de geometria analítica, mais especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície, tipo uma bola ou uma montanha, e quer aproximar essa superfície em um ponto específico por um plano (como se fosse uma folha de papel tocando a superfície naquele ponto). Esse plano que “toca” a superfície sem cortar é o plano tangente.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente a uma superfície definida por uma função
no ponto
, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Essas derivadas nos dizem como a função muda nas direções de
e
.
Passo 4
No nosso caso, queremos que o plano tangente em
seja
. Vamos igualar essa situação com a fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Mas, queremos que esse plano seja exatamente
. Isso significa que os coeficientes de
e
devem ser zero:
Passo 5
Então, precisamos escolher uma função
que satisfaça:
- No ponto (0,0):
. - As derivadas parciais no ponto (0,0):
e .
Uma função simples que atende a essas condições é:
Passo 6
Vamos verificar se essa função realmente funciona:
- Valor no ponto (0,0):
- Derivadas parciais:
No ponto
:
Perfeito! As derivadas parciais são zero no ponto, o que garante que o plano tangente seja
.
Resposta
Um exemplo de superfície que satisfaz as condições é:
Exercícios relacionados
Considere o escoamento de um fluido em uma tubulação circular reta. A velocidade do escoamento, em
, é dada por
, considerando
pontos da seção transversal do tubo circular reto de raio
centrado na origem. Qual a velocidade média do escoamento?
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(i)
(i)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k)
(k)
Suponhamos que
e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada
, no plano-
. Encontre a área da superfície do cone
que está localizada dentro do cilindro
.