Dê um exemplo de uma superfície no espaço cujo plano tangente no ponto é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma superfície no espaço cujo plano tangente no ponto seja exatamente o plano . Isso tudo tá ligado ao conteúdo de geometria analítica, mais especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície, tipo uma bola ou uma montanha, e quer aproximar essa superfície em um ponto específico por um plano (como se fosse uma folha de papel tocando a superfície naquele ponto). Esse plano que “toca” a superfície sem cortar é o plano tangente.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente a uma superfície definida por uma função no ponto , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Essas derivadas nos dizem como a função muda nas direções de e .

Passo 4

No nosso caso, queremos que o plano tangente em seja . Vamos igualar essa situação com a fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Mas, queremos que esse plano seja exatamente . Isso significa que os coeficientes de e devem ser zero:

Passo 5

Então, precisamos escolher uma função que satisfaça:
  1. No ponto (0,0): .
  2. As derivadas parciais no ponto (0,0): e .
Uma função simples que atende a essas condições é:

Passo 6

Vamos verificar se essa função realmente funciona:
  1. Valor no ponto (0,0):
  1. Derivadas parciais:
No ponto :
Perfeito! As derivadas parciais são zero no ponto, o que garante que o plano tangente seja .

Resposta

Um exemplo de superfície que satisfaz as condições é:

Exercícios relacionados

Considere o escoamento de um fluido em uma tubulação circular reta. A velocidade do escoamento, em , é dada por , considerando pontos da seção transversal do tubo circular reto de raio centrado na origem. Qual a velocidade média do escoamento?
Determine o plano tangente a superfície no ponto dado.
(i)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k)
Suponhamos que e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada , no plano- . Encontre a área da superfície do cone que está localizada dentro do cilindro .