Dê um exemplo de uma superfície no espaço cujo plano tangente no ponto (0,0,3) é z = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente dar um exemplo de uma superfície no espaço cujo plano tangente no ponto (0,0,3) seja exatamente o plano . Isso tudo tá ligado ao conteúdo de geometria analítica, mais especificamente sobre superfícies e planos tangentes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um plano tangente. Imagine que você tem uma superfície, tipo uma bola ou uma montanha, e quer aproximar essa superfície em um ponto específico por um plano (como se fosse uma folha de papel tocando a superfície naquele ponto). Esse plano que “toca” a superfície sem cortar é o plano tangente.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente a uma superfície definida por uma função no ponto , usamos a seguinte fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente. Essas derivadas nos dizem como a função muda nas direções de x e y.

Passo 4

No nosso caso, queremos que o plano tangente em (0,0,3) seja . Vamos igualar essa situação com a fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Mas, queremos que esse plano seja exatamente . Isso significa que os coeficientes de x e y devem ser zero:

Passo 5

Então, precisamos escolher uma função f(x, y) que satisfaça:
  1. No ponto (0,0): .
  2. As derivadas parciais no ponto (0,0): e .
Uma função simples que atende a essas condições é:

Passo 6

Vamos verificar se essa função realmente funciona:
  1. Valor no ponto (0,0):
  1. Derivadas parciais:
No ponto (0,0):
Perfeito! As derivadas parciais são zero no ponto, o que garante que o plano tangente seja .

Resposta

Um exemplo de superfície que satisfaz as condições é:

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