Suponhamos que e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada , no plano- . Encontre a área da superfície do cone que está localizada dentro do cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a área de uma superfície definida pelo cone que está dentro do cilindro . Vamos usar conhecimentos de cálculo de superfícies e coordenadas polares para resolver isso. Precisaremos entender como calcular áreas de superfícies usando integrais múltiplas e como converter essas equações para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o cilindro . Podemos reescrever essa equação para facilitar a visualização:
Isso mostra que o cilindro é, na verdade, um círculo de raio 1 centrado no ponto (1, 0) no plano xy.
Passo 3
Agora, vamos considerar o cone . Em coordenadas polares, onde e , essa equação fica:
Isso simplifica a expressão do cone para trabalhar com coordenadas polares, que são úteis devido à simetria do problema.
Passo 4
Para calcular a área da superfície do cone dentro do cilindro, usamos a fórmula da área de uma superfície :
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais de :
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a fórmula da área fica:
Passo 7
A integral representa a área da região no plano xy, que é o círculo . Para calcular essa área, é mais fácil usar coordenadas polares deslocadas ou aproveitar a simetria. Mas como o círculo está centrado em (1, 0), vamos mudar para coordenadas polares padrão, ajustando os limites de integração.
Passo 8
Em coordenadas polares, e , mas isso complica. Em vez disso, notamos que a área do círculo de raio 1 é simplesmente . Então, a integral .
Passo 9
Finalmente, substituímos de volta na expressão da área:
Resposta
A área da superfície do cone dentro do cilindro é .