Considere o escoamento de um fluido em uma tubulação circular reta. A velocidade do escoamento, em , é dada por , considerando pontos da seção transversal do tubo circular reto de raio centrado na origem. Qual a velocidade média do escoamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a velocidade média de um fluido que está escoando por uma tubulação circular reta. A velocidade do escoamento é dada pela fórmula , onde são pontos na seção transversal do tubo, que tem raio metros e está centrado na origem. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de Cálculo Integrado, especialmente integrais duplas para calcular médias em áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a velocidade média em uma área. A fórmula para a velocidade média é dada por:
Aqui, é a área da seção transversal do tubo, e é a integral dupla da velocidade sobre toda a área.

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal do tubo. Como a tubulação é circular com raio metros, a área é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla da velocidade sobre a área . Devido à simetria circular, é mais fácil fazer isso em coordenadas polares, onde e . Em coordenadas polares, , e o elemento de área vira .

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Vamos resolver essa integral em partes.

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em :
Calculando cada termo:
Então, a integral interna é:
Agora, a integral externa em é:

Passo 7

Agora que temos a integral dupla, podemos calcular a velocidade média:

Resposta

A velocidade média do escoamento é 3 metros por segundo.

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