Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
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Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar o gradiente da função no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudarão a determinar como a função muda em relação a cada uma das variáveis e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Isso nos indica a direção e a taxa de variação máxima da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia para derivar a função logaritmo:
Aqui, derivamos o interior da função logaritmo em relação a , obtendo .

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Novamente, aplicamos a regra da cadeia, derivando em relação a , que resulta apenas em .

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos expressar o gradiente da função:

Passo 6

Finalmente, substituímos o ponto nas expressões das derivadas parciais para encontrar o gradiente nesse ponto específico:

Resposta

O gradiente da função no ponto é .

Exercícios relacionados

Suponhamos que e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada , no plano- . Encontre a área da superfície do cone que está localizada dentro do cilindro .
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k)
Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(h)
Considere a função
(a) Determine o domínio de e esboce seu domínio.