Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar o gradiente da função
no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudarão a determinar como a função muda em relação a cada uma das variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Isso nos indica a direção e a taxa de variação máxima da função.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para derivar a função logaritmo:
Aqui, derivamos o interior da função logaritmo
em relação a
, obtendo
.
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia, derivando
em relação a
, que resulta apenas em
.
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos expressar o gradiente da função:
Passo 6
Finalmente, substituímos o ponto
nas expressões das derivadas parciais para encontrar o gradiente nesse ponto específico:
Resposta
O gradiente da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Suponhamos que
e suas derivadas parciais sejam contínuas na região fechada
, no plano-
. Encontre a área da superfície do cone
que está localizada dentro do cilindro
.
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k)
(k)
Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(h)
(h)
Considere a função
(a) Determine o domínio de e esboce seu domínio.
(a) Determine o domínio de