Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k)

Passo 1

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um conceito da matemática que nos dá a direção de maior aumento da função em cada ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como aplicar a regra da cadeia em funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e . Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente. Começaremos com .
Para a derivada parcial em relação a , tratamos e como constantes:

Passo 4

Lembrando que a derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia, temos:
Como estamos derivando em relação a , as derivadas de e são zero:

Passo 5

Agora, calculamos a derivada parcial em relação a :
Aplicando a mesma regra da cadeia:
Aqui, a derivada de em relação a é , e as demais partes são constantes:

Passo 6

Por último, calculamos a derivada parcial em relação a :
Novamente, aplicando a regra da cadeia:
A derivada de em relação a é , então:

Resposta

Portanto, o gradiente da função é dado por:

Exercícios relacionados

Seja . Calcule:
Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
Calcule (usando substituição)