Calcule o gradiente das seguintes funções:
(k)
(k)
Passo 1
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um conceito da matemática que nos dá a direção de maior aumento da função em cada ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como aplicar a regra da cadeia em funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais individualmente. Começaremos com
.
Para a derivada parcial em relação a
, tratamos
e
como constantes:
Passo 4
Lembrando que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia, temos:
Como estamos derivando em relação a
, as derivadas de
e
são zero:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a
:
Aplicando a mesma regra da cadeia:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, e as demais partes são constantes:
Passo 6
Por último, calculamos a derivada parcial em relação a
:
Novamente, aplicando a regra da cadeia:
A derivada de
em relação a
é
, então:
Resposta
Portanto, o gradiente da função
é dado por:
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Seja
. Calcule:
Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio:
Calcule (usando substituição)