Calcule o gradiente das seguintes funções:
(l) f(x, y, z) = z * arctan(2 * x + 3 * y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função . O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos dá as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Para isso, vamos precisar conhecer derivadas parciais e como aplicá-las em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. Para uma função , o gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a , e . Ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar essas três derivadas parciais.

Passo 3

Vamos começar calculando . Temos:
Para derivar em relação a , tratamos e como constantes. A derivada da função em relação a é , e temos que usar a regra da cadeia.
Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Novamente, e são constantes. Usamos a mesma abordagem:
Simplificando:

Passo 5

Por fim, vamos calcular . Aqui, e são constantes, e aparece como um fator multiplicativo:

Resposta

Então, o gradiente da função é dado por:

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