Calcule o gradiente das seguintes funções:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função
. O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos dá as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Para isso, vamos precisar conhecer derivadas parciais e como aplicá-las em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. Para uma função
, o gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar essas três derivadas parciais.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Temos:
Para derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes. A derivada da função
em relação a
é
, e temos que usar a regra da cadeia.
Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Novamente,
e
são constantes. Usamos a mesma abordagem:
Simplificando:
Passo 5
Por fim, vamos calcular
. Aqui,
e
são constantes, e
aparece como um fator multiplicativo:
Resposta
Então, o gradiente da função
é dado por: