Se e , encontre as seguintes funções e seus domínios:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função composta , onde . Isso envolve o conteúdo de funções compostas e logaritmos. Para resolver, precisamos entender como compor funções e determinar o domínio da função resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é função composta. A função significa que a gente vai aplicar a função dentro dela mesma. Matematicamente, isso fica assim:
Então, vamos substituir na própria função .

Passo 3

Sabemos que . Então, substituindo na expressão:
Portanto, a função composta é:

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio dessa função. O domínio de uma função composta depende dos domínios das funções envolvidas. No caso, temos dentro de .
Primeiro, para existir, precisa ser maior que 0:
Mas, além disso, o resultado de também precisa ser maior que 0 para que o segundo logaritmo faça sentido:
Sabemos que quando .

Passo 5

Resumindo, para existir, precisa ser maior que 1. Portanto, o domínio da função composta é:

Resposta

A função composta é e seu domínio é .

Exercícios relacionados

Calcule o gradiente das seguintes funções:
(l)
Teste a convergência ou divergência das séries. .
Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(d)
Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(i)