Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um vetor que mostra as direções de maior aumento da função e para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como , é um vetor formado pelas derivadas parciais dessa função em relação a e . Ou seja,

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usamos a regra do poder e a regra da cadeia para derivar:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a da mesma forma:

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos montar o vetor gradiente:

Passo 6

Agora, vamos substituir o ponto nas derivadas parciais para encontrar o gradiente nesse ponto:

Resposta

O gradiente da função no ponto é:

Exercícios relacionados

Se e , encontre as seguintes funções e seus domínios:
Calcule o gradiente das seguintes funções:
(l)
Encontre o gradiente de cada função no ponto dado.
(i)
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. .