Usando a regra da cadeia para e , calcule e :
$(b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções: , com e . O objetivo aqui é calcular as derivadas de e em relação a , ou seja, e . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em encontrar . Sabemos que , e tanto quanto são funções de . A Regra da Cadeia nos diz que:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 4

Vamos agora calcular e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos tudo de volta na expressão da Regra da Cadeia para :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos expressar e em termos de :
Substituindo na expressão de :
Podemos fatorar :

Passo 7

Então, a derivada de em relação a é:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(b) .
Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(a)
Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(a)
Determine a massa, o centro de massa, os momentos de inércia e da lâmina que ocupa a região delimitada por e e tem função densidade