Usando a regra da cadeia para
e
, calcule
e
:
$(b)
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções:
, com
e
. O objetivo aqui é calcular as derivadas de
e
em relação a
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em encontrar
. Sabemos que
, e tanto
quanto
são funções de
. A Regra da Cadeia nos diz que:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos agora calcular
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos tudo de volta na expressão da Regra da Cadeia para
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos expressar
e
em termos de
:
Substituindo na expressão de
:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Então, a derivada de
em relação a
é:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(b) .
$(b)
Calcule o gradiente das seguintes funções:
$(a)
$(a)
Determine a derivada direcional da função dada na direção v:
$(a)
$(a)
Determine a massa, o centro de massa, os momentos de inércia
e
da lâmina que ocupa a região delimitada por
e
e tem função densidade