A soma dos quocientes na divisão euclidiana de dois números D e
por um número
, é sempre igual ao quociente da divisão de
por d ? Se não for igual de quanto difere?
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pergunta se a soma dos quocientes resultantes da divisão de dois números
e
por um número
é sempre igual ao quociente da divisão de
por
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de divisão euclidiana e como os quocientes se relacionam quando somamos os dividendos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é divisão euclidiana. Quando dividimos um número
por
, obtemos um quociente
e um resto
, que podemos escrever assim:
Da mesma forma, dividindo
por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos somar
e
:
Quando dividimos
por
, o quociente será:
Aqui,
representa a parte inteira da divisão.
Passo 4
Observamos que:
Porém, se
, então
, e o quociente se torna:
Passo 5
Isso significa que a soma dos quocientes
é igual ao quociente da soma
somente quando a soma dos restos
é menor que
. Se a soma dos restos for maior ou igual a
, o quociente da soma
será maior em 1.
Resposta
Não, a soma dos quocientes não é sempre igual. Ela difere em 1 quando a soma dos restos das divisões de
e
por
é igual ou maior que
.
Exercícios relacionados
Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma
ou
com
. Os números da forma
são chamados pares e os da forma
são chamados ímpares. Mostre que:
c) Quantos inteiros divisíveis por 7 existem entre 112 e 1328 ?
Seja a um número inteiro qualquer. Mostre que exatamente um número de cada terna dada é divisível por 3
Calcule o gradiente de