A soma dos quocientes na divisão euclidiana de dois números D e por um número , é sempre igual ao quociente da divisão de por d ? Se não for igual de quanto difere?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pergunta se a soma dos quocientes resultantes da divisão de dois números e por um número é sempre igual ao quociente da divisão de por . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de divisão euclidiana e como os quocientes se relacionam quando somamos os dividendos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é divisão euclidiana. Quando dividimos um número por , obtemos um quociente e um resto , que podemos escrever assim:
Da mesma forma, dividindo por , temos:

Passo 3

Agora, vamos somar e :
Quando dividimos por , o quociente será:
Aqui, representa a parte inteira da divisão.

Passo 4

Observamos que:
Porém, se , então , e o quociente se torna:

Passo 5

Isso significa que a soma dos quocientes é igual ao quociente da soma somente quando a soma dos restos é menor que . Se a soma dos restos for maior ou igual a , o quociente da soma será maior em 1.

Resposta

Não, a soma dos quocientes não é sempre igual. Ela difere em 1 quando a soma dos restos das divisões de e por é igual ou maior que .

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