Considere a função
dada por
. Faça o que se pede:
a) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função
não ser injetora.
b) Restrinja o domínio da função f para que a função se torne injetora.
c) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função f não ser sobrejetora.
d) restrinja o contra-domínio da função f para que a função se torne sobrejetora.
a) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função
b) Restrinja o domínio da função f para que a função se torne injetora.
c) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função f não ser sobrejetora.
d) restrinja o contra-domínio da função f para que a função se torne sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma função
e pediu pra gente resolver algumas coisas sobre ela. A gente vai explorar se essa função é injetora (ou seja, se diferentes valores de
dão diferentes valores de
) e se é sobrejetora (se todo valor de
no conjunto de chegada tem um
correspondente). Vamos precisar entender esses conceitos e usar alguns exemplos para justificar.
Passo 2
a) Justificar com um contra-exemplo o porquê da função
não ser injetora.
Vamos lembrar o que é uma função injetora: se dois valores diferentes de
dão o mesmo valor de
, a função não é injetora. Olha a nossa função
. Podemos reescrever ela completando o quadrado:
Isso mostra que a função é uma parábola com vértice em
e que abre para cima. Como é simétrica, podemos encontrar dois valores de
que dão o mesmo
. Por exemplo,
e
:
Aqui,
, mas
, então a função não é injetora.
Passo 3
b) Restringir o domínio da função
para que a função se torne injetora.
Para a função ser injetora, precisamos garantir que cada
mapeie para um
único. Como nossa função é uma parábola que é simétrica em torno de
, podemos restringir o domínio para um dos lados do vértice para eliminar a simetria.
Vamos escolher
. Assim, a função passa a ser crescente nesse intervalo, o que garante que cada
diferente gera um
diferente. Então, a nova função restringida é:
Passo 4
c) Justificar com um contra-exemplo o porquê da função
não ser sobrejetora.
Uma função é sobrejetora se todo valor do conjunto de chegada (
) tem pelo menos um
que mapeia para ele. Olhando a nossa função
, percebemos que o menor valor possível de
é 0 (quando
) e ela cresce a partir daí.
Por exemplo, vamos tentar
. Será que existe um
tal que:
Isso não é possível, pois um quadrado nunca é negativo. Assim, não existe
que faça
, mostrando que a função não é sobrejetora.
Passo 5
d) Restringir o contra-domínio da função
para que a função se torne sobrejetora.
Para tornar a função sobrejetora, precisamos que todo valor de
no novo contra-domínio seja alcançado por algum
. Já que
sempre é maior ou igual a 0, podemos restringir o contra-domínio para
.
Assim, a função passa a ser:
Agora, para qualquer
, existe pelo menos um
que faz
, tornando a função sobrejetora.
Resposta
a) A função não é injetora porque, por exemplo,
.
b) Restrigindo o domínio para
, a função se torna injetora.
c) A função não é sobrejetora porque não existem
que resultem em valores negativos, como
.
d) Restrigindo o contra-domínio para
, a função se torna sobrejetora.
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
.
a) Calcule f(8).
b) Calcule .
c) Calcule .
a) Calcule f(8).
b) Calcule
c) Calcule
Calcule: h)
,
Calcule a integral dupla:
c) .
Resp:
c)
Resp:
Encontre um polinômio cujas raízes sejam-2,-1, 1 e 4, todas com multiplicidade 1.