Considere a função dada por . Faça o que se pede:
a) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função não ser injetora.
b) Restrinja o domínio da função f para que a função se torne injetora.
c) Justifique com um contra-exemplo o porquê da função f não ser sobrejetora.
d) restrinja o contra-domínio da função f para que a função se torne sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma função e pediu pra gente resolver algumas coisas sobre ela. A gente vai explorar se essa função é injetora (ou seja, se diferentes valores de dão diferentes valores de ) e se é sobrejetora (se todo valor de no conjunto de chegada tem um correspondente). Vamos precisar entender esses conceitos e usar alguns exemplos para justificar.

Passo 2

a) Justificar com um contra-exemplo o porquê da função não ser injetora.
Vamos lembrar o que é uma função injetora: se dois valores diferentes de dão o mesmo valor de , a função não é injetora. Olha a nossa função . Podemos reescrever ela completando o quadrado:
Isso mostra que a função é uma parábola com vértice em e que abre para cima. Como é simétrica, podemos encontrar dois valores de que dão o mesmo . Por exemplo, e :
Aqui, , mas , então a função não é injetora.

Passo 3

b) Restringir o domínio da função para que a função se torne injetora.
Para a função ser injetora, precisamos garantir que cada mapeie para um único. Como nossa função é uma parábola que é simétrica em torno de , podemos restringir o domínio para um dos lados do vértice para eliminar a simetria.
Vamos escolher . Assim, a função passa a ser crescente nesse intervalo, o que garante que cada diferente gera um diferente. Então, a nova função restringida é:

Passo 4

c) Justificar com um contra-exemplo o porquê da função não ser sobrejetora.
Uma função é sobrejetora se todo valor do conjunto de chegada ( ) tem pelo menos um que mapeia para ele. Olhando a nossa função , percebemos que o menor valor possível de é 0 (quando ) e ela cresce a partir daí.
Por exemplo, vamos tentar . Será que existe um tal que:
Isso não é possível, pois um quadrado nunca é negativo. Assim, não existe que faça , mostrando que a função não é sobrejetora.

Passo 5

d) Restringir o contra-domínio da função para que a função se torne sobrejetora.
Para tornar a função sobrejetora, precisamos que todo valor de no novo contra-domínio seja alcançado por algum . Já que sempre é maior ou igual a 0, podemos restringir o contra-domínio para .
Assim, a função passa a ser:
Agora, para qualquer , existe pelo menos um que faz , tornando a função sobrejetora.

Resposta

a) A função não é injetora porque, por exemplo, .
b) Restrigindo o domínio para , a função se torna injetora.
c) A função não é sobrejetora porque não existem que resultem em valores negativos, como .
d) Restrigindo o contra-domínio para , a função se torna sobrejetora.

Exercícios relacionados

Considere a função dada por .
a) Calcule f(8).
b) Calcule .
c) Calcule .
Calcule: h) ,
Calcule a integral dupla:
c) .
Resp:
Encontre um polinômio cujas raízes sejam-2,-1, 1 e 4, todas com multiplicidade 1.