Calcule:
h) integral-3^3(x cdot tg x) d x,

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Estamos sendo solicitados a calcular a integral definida:
integral-3^3 ( x cdot tan x ) dx
Esse exercício envolve cálculo de integrais, mais especificamente, integração de funções que são produto de funções pares e ímpares. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades de simetria das funções e aplicar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Analisando a Simetria da Função
Primeiro, vamos verificar se a função f(-x) = (-x) cdot tan(-x) = (-x) cdot (-tan x) = x cdot tan x = f(x) é par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • Função par:
  • Função ímpar:
Calculando:
Então, é uma função par.

Passo 3

Simplificando a Integral Usando a Simetria
Como a função é par e os limites de integração são simétricos em torno de zero ( integral-3^3 f(x) dx = 2 integral0^3 f(x) dx a integral-3^3 x cdot tan x , dx = 2 integral0^3 x cdot tan x , dx ), podemos simplificar a integral:
Portanto:

Passo 4

Aplicando a Integração por Partes
Para resolver Seja u = x e dv = tan x , dx , vamos usar a integração por partes, onde:
du = dx e v = -ln |cos x|
Então, calculamos integral x cdot tan x , dx = -x ln |cos x| + integral ln |cos x| , dx e :
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 5

Resolvendo a Integral Restante
A integral não possui uma antiderivada em termos de funções elementares. No entanto, para fins práticos, podemos avaliar a integral definida numericamente.

Passo 6

Calculando a Integral Definida
Voltando à nossa expressão simplificada:
2 integral0^3 x cdot tan x , dx = 2 [ -x ln |cos x| |0^3 + integral0^3 ln |cos x| , dx ]
Como a integral não pode ser expressa de forma simples, a solução final será avaliada numericamente.

Resposta

A integral definida é igual a aproximadamente -2 \cdot 3 \cdot \ln |\cos 3| + 2 \cdot \int_{0}^{3} \ln |\cos x| , dx, e seu valor numérico pode ser calculado usando m��todos de integração numérica.

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