Encontre os valores de a tais que a reta divida a região sob a curva , com , em duas partes tais que uma delas tenha o triplo da área da outra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de “a” onde a reta divide a área sob a curva entre e em duas partes, sendo que uma parte tem o triplo da área da outra. Vamos precisar usar cálculo integral para encontrar essas áreas e igualar as proporções conforme solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área total sob a curva entre e . Para isso, usamos a integral definida:
Á

Passo 3

Vamos resolver essa integral. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Agora, aplicamos os limites de 1 a 4:
Á

Passo 4

Agora, queremos que a reta divida essa área total em duas partes, uma com o triplo da outra. Vamos chamar de a área de um lado da reta e a outra área. Temos duas possibilidades:
Vamos considerar ambas as situações para encontrar os valores de “a”.

Passo 5

Primeiro, vamos considerar . Sabemos que . Substituindo por :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos encontrar “a” tal que a área de até seja :
Resolvendo a integral:

Passo 7

Agora, vamos considerar a segunda possibilidade: . Seguindo o mesmo raciocínio:
Então, .

Passo 8

Agora, encontramos “a” tal que a área de até seja :
Resolvendo a integral:

Resposta

Os valores de “a” que satisfazem a condição são (aproximadamente 2,2857) e (aproximadamente 1,2308).

Exercícios relacionados

Encontre e represente graficamente no plano o domínio de cada função:
Encontre e represente graficamente no plano o domínio de cada função:
Seja uma função contínua, com , para todo . Apresente os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por
Calcule , sendo .