Encontre os valores de a tais que a reta
divida a região sob a curva
, com
, em duas partes tais que uma delas tenha o triplo da área da outra.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os valores de “a” onde a reta
divide a área sob a curva
entre
e
em duas partes, sendo que uma parte tem o triplo da área da outra. Vamos precisar usar cálculo integral para encontrar essas áreas e igualar as proporções conforme solicitado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área total sob a curva
entre
e
. Para isso, usamos a integral definida:
Passo 3
Vamos resolver essa integral. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Agora, aplicamos os limites de 1 a 4:
Passo 4
Agora, queremos que a reta
divida essa área total em duas partes, uma com o triplo da outra. Vamos chamar de
a área de um lado da reta e
a outra área. Temos duas possibilidades:
Vamos considerar ambas as situações para encontrar os valores de “a”.
Passo 5
Primeiro, vamos considerar
. Sabemos que
. Substituindo
por
:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar “a” tal que a área de
até
seja
:
Resolvendo a integral:
Passo 7
Agora, vamos considerar a segunda possibilidade:
. Seguindo o mesmo raciocínio:
Então,
.
Passo 8
Agora, encontramos “a” tal que a área de
até
seja
:
Resolvendo a integral:
Resposta
Os valores de “a” que satisfazem a condição são
(aproximadamente 2,2857) e
(aproximadamente 1,2308).
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Encontre e represente graficamente no plano o domínio de cada função:
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Seja
uma função contínua, com
, para todo
. Apresente os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por
Calcule
, sendo
.