Encontre o polinômio de Taylor da função centrada no número .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor da função , centrado no número . Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a quarta ordem e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do polinômio de Taylor de grau para uma função centrada em :
No nosso caso, e , então a fórmula fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem e avaliar todas em .
  1. Primeira Derivada:
    Avaliando em 0:
  2. Segunda Derivada:
    Avaliando em 0:
  3. Terceira Derivada:
    Avaliando em 0:
  4. Quarta Derivada:
    Avaliando em 0:

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula do polinômio de Taylor:
Sabemos que:
Substituindo:
Simplificando:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 4 da função centrado em 0 é:

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