Encontre o polinômio de Taylor
da função
centrada no número
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor
da função
, centrado no número
. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a quarta ordem e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do polinômio de Taylor de grau
para uma função
centrada em
:
No nosso caso,
e
, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
até a quarta ordem e avaliar todas em
.
-
Primeira Derivada:Avaliando em 0:
-
Segunda Derivada:Avaliando em 0:
-
Terceira Derivada:Avaliando em 0:
-
Quarta Derivada:Avaliando em 0:
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula do polinômio de Taylor:
Sabemos que:
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 4 da função
centrado em 0 é:
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.
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