Calcule , onde é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície definida por:
Aqui, é a superfície externa de um cubo limitado pelos planos coordenados , , e pelos planos , , .
Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral de volume da divergência desse campo dentro da superfície. Precisamos calcular a divergência do campo vectorial associado à expressão dada.

Passo 2

Vamos identificar o campo vetorial correspondente à integral de superfície. Observando a expressão:
Podemos associar cada componente do campo vetorial da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Portanto:

Passo 4

Com a divergência calculada, agora aplicamos o Teorema da Divergência:
Onde é o volume dentro do cubo definido. Então, a integral de superfície é igual à integral de volume da divergência:

Passo 5

Vamos calcular a integral de volume:
Como o volume é um cubo onde , , e , podemos escrever a integral tripla como:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a . Como a expressão não depende de :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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