Calcule
, onde
é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície
definida por:
Aqui,
é a superfície externa de um cubo limitado pelos planos coordenados
,
,
e pelos planos
,
,
.
Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral de volume da divergência desse campo dentro da superfície. Precisamos calcular a divergência do campo vectorial associado à expressão dada.
Passo 2
Vamos identificar o campo vetorial
correspondente à integral de superfície. Observando a expressão:
Podemos associar cada componente do campo vetorial
da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Portanto:
Passo 4
Com a divergência calculada, agora aplicamos o Teorema da Divergência:
Onde
é o volume dentro do cubo definido. Então, a integral de superfície
é igual à integral de volume da divergência:
Passo 5
Vamos calcular a integral de volume:
Como o volume é um cubo onde
,
, e
, podemos escrever a integral tripla como:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
. Como a expressão
não depende de
:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral
é
.
Exercícios relacionados
Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Um fluido de densidade constante, com velocidade
, escoa através da superfície
dada por
, com
,
, na direção do vetor
. Determine a massa de fluido que atravessa
.
Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Considere a função
Determine sa curvas de nível de
para
e
.