Calcule I=integral duplaS[(2 x-z) d y d z+x^2 d z d x-x z^2 d x d y], onde S é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=1 e z=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície I = integral duplaS[(2 x - z) , dy , dz + x^2 , dz , dx - x z^2 , dx , dy] definida por:
Aqui, é a superfície externa de um cubo limitado pelos planos coordenados , , e pelos planos , , .
Para resolver essa integral, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada com a integral de volume da divergência desse campo dentro da superfície. Precisamos calcular a divergência do campo vectorial associado à expressão dada.

Passo 2

Vamos identificar o campo vetorial I = integral duplaS[(2 x - z) , dy , dz + x^2 , dz , dx - x z^2 , dx , dy] correspondente à integral de superfície. Observando a expressão:
Fx = 2x - z, Fy = x^2, Fz = -x z^2
Podemos associar cada componente do campo vetorial da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência do campo vetorial div , F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
partial Fxpartial x = partialpartial x(2x - z) = 2
Calculando cada derivada parcial:
partial Fypartial y = partialpartial y(x^2) = 0
partial Fzpartial z = partialpartial z(-x z^2) = -2x z
div , F = 2 + 0 - 2x z = 2 - 2x z
Portanto:

Passo 4

Com a divergência calculada, agora aplicamos o Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV div , F , dV
Onde I = integral triplaV (2 - 2x z) , dV é o volume dentro do cubo definido. Então, a integral de superfície é igual à integral de volume da divergência:

Passo 5

Vamos calcular a integral de volume:
I = integral triplaV (2 - 2x z) , dV
Como o volume é um cubo onde I = integral0^1 integral0^1 integral0^1 (2 - 2x z) , dx , dy , dz , integral0^1 (2 - 2x z) , dx = [2x - x^2 z]0^1 = 2(1) - (1)^2 z - [0 - 0] = 2 - z , e , podemos escrever a integral tripla como:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^1 (2 - z) , dy = (2 - z) cdot integral0^1 dy = (2 - z)(1 - 0) = 2 - z . Como a expressão não depende de :

Passo 7

Por fim, integramos em relação a I = integral0^1 (2 - z) , dz = [2z - 12 z^2]0^1 = 2(1) - 12(1)^2 - [0 - 0] = 2 - 12 = 32 :

Resposta

O valor da integral é .

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