Considere a função
Determine sa curvas de nível de para e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as curvas de nível da função para os valores e . Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível em funções de duas variáveis. Vamos precisar manipular equações e entender um pouquinho de geometria analítica para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função , uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos que satisfazem . Ou seja, queremos encontrar todas as combinações de e que fazem a função valer exatamente .

Passo 3

Vamos começar resolvendo para . Substituímos por 1 na equação:
Nosso objetivo é resolver essa equação para obter uma relação entre e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos reunir termos semelhantes:

Passo 6

Para simplificar, dividimos todos os termos por 2:
Essa é a equação de uma elipse, onde os coeficientes de e são diferentes, indicando que os eixos da elipse têm comprimentos diferentes.

Passo 7

Agora, vamos repetir o processo para . Substituímos por 3:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Simplificando:

Passo 8

Subtraímos de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 9

Resolvendo para :
Isso nos dá duas linhas horizontais paralelas no plano cartesiano.

Resposta

Para , a curva de nível é a elipse .
Para , as curvas de nível são as retas horizontais e .

Exercícios relacionados

Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Calcule , onde é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos .
Dada a curva com equações paramétricas e , expresse o comprimento de arco como uma função de , onde é medido a partir do ponto onde .
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .