Considere a função
Determine sa curvas de nível de
para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as curvas de nível da função
para os valores
e
. Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível em funções de duas variáveis. Vamos precisar manipular equações e entender um pouquinho de geometria analítica para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Para uma função
, uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem
. Ou seja, queremos encontrar todas as combinações de
e
que fazem a função valer exatamente
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo para
. Substituímos
por 1 na equação:
Nosso objetivo é resolver essa equação para obter uma relação entre
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar a fração:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos reunir termos semelhantes:
Passo 6
Para simplificar, dividimos todos os termos por 2:
Essa é a equação de uma elipse, onde os coeficientes de
e
são diferentes, indicando que os eixos da elipse têm comprimentos diferentes.
Passo 7
Agora, vamos repetir o processo para
. Substituímos
por 3:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Simplificando:
Passo 8
Subtraímos
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 9
Resolvendo para
:
Isso nos dá duas linhas horizontais paralelas no plano cartesiano.
Resposta
Para
, a curva de nível é a elipse
.
Para , as curvas de nível são as retas horizontais
e
.
Para