Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos determinar e fazer um esboço do domínio da função .
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Domínio de funções multivariáveis: Conjunto de todos os pares para os quais a função está definida.
  • Regras para radicais e logaritmos:
    • O denominador dentro de uma fração não pode ser zero.
    • O radicando de uma raiz quadrada deve ser positivo.
    • O argumento de um logaritmo natural ( ) deve ser maior que zero.
O que vamos precisar:
  • Analisar as condições para que cada parte da função esteja definida.
  • Resolver essas condições para encontrar o domínio da função.
  • Esboçar o domínio no plano .

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira parte da função: .
Condições para esta parte estar definida:
  1. O denominador não pode ser zero:
  2. O radicando deve ser positivo:
Explicação teórica:
  • Radiciação: A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero para que a raiz seja um número real.
  • Denominador não nulo: Uma fração só está definida quando o denominador não é zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda parte da função: .
Condição para esta parte estar definida:
Explicação teórica:
  • Logaritmo natural: O argumento de deve ser estritamente maior que zero para que o logaritmo seja definido.

Passo 4

Vamos combinar todas as condições que encontramos para determinar o domínio completo da função.
Condições combinadas:
Resolvendo a primeira condição:
Isso significa que deve estar fora da faixa onde , ou seja, acima da reta e abaixo da reta , mas no nosso caso .

Passo 5

Vamos interpretar essas condições no plano :
  1. : Representa a região fora das duas retas e , formando duas “asas” acima e abaixo do eixo .
  2. : Limita a região para acima da linha horizontal .
Combinação das regiões:
A intersecção dessas condições nos dá o domínio da função: todas as áreas onde e .

Passo 6

Esboço do domínio:
  1. Desenhe as retas e .
  2. Identifique as regiões onde , ou seja, acima de e acima de , assim como abaixo de mas descartando devido a .
  3. Desenhe a linha e considere apenas as áreas acima dela.
  4. A região final será a interseção dessas áreas, formando um “cone” aberto para cima a partir de .

Resposta

O domínio da função consiste de todos os pares tais que:
Visualmente, no plano , isso corresponde à região onde e acima da linha .

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Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
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