Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos determinar e fazer um esboço do domínio da função
.
Conteúdo da matéria envolvido:
- Domínio de funções multivariáveis: Conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. - Regras para radicais e logaritmos:
- O denominador dentro de uma fração não pode ser zero.
- O radicando de uma raiz quadrada deve ser positivo.
- O argumento de um logaritmo natural (
) deve ser maior que zero.
O que vamos precisar:
- Analisar as condições para que cada parte da função esteja definida.
- Resolver essas condições para encontrar o domínio da função.
- Esboçar o domínio no plano
.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira parte da função:
.
Condições para esta parte estar definida:
- O denominador
não pode ser zero: - O radicando
deve ser positivo:
Explicação teórica:
- Radiciação: A expressão dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero para que a raiz seja um número real.
- Denominador não nulo: Uma fração só está definida quando o denominador não é zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função:
.
Condição para esta parte estar definida:
Explicação teórica:
- Logaritmo natural: O argumento de
deve ser estritamente maior que zero para que o logaritmo seja definido.
Passo 4
Vamos combinar todas as condições que encontramos para determinar o domínio completo da função.
Condições combinadas:
Resolvendo a primeira condição:
Isso significa que
deve estar fora da faixa onde
, ou seja, acima da reta
e abaixo da reta
, mas no nosso caso
.
Passo 5
Vamos interpretar essas condições no plano
:
-
: Representa a região fora das duas retas e , formando duas “asas” acima e abaixo do eixo . -
: Limita a região para acima da linha horizontal .
Combinação das regiões:
A intersecção dessas condições nos dá o domínio da função: todas as áreas onde e
.
A intersecção dessas condições nos dá o domínio da função: todas as áreas onde
Passo 6
Esboço do domínio:
- Desenhe as retas
e . - Identifique as regiões onde
, ou seja, acima de e acima de , assim como abaixo de mas descartando devido a . - Desenhe a linha
e considere apenas as áreas acima dela. - A região final será a interseção dessas áreas, formando um “cone” aberto para cima a partir de
.
Resposta
O domínio da função
consiste de todos os pares
tais que:
Visualmente, no plano
, isso corresponde à região onde
e acima da linha
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
.
Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Considere a função
Determine sa curvas de nível de
para
e
.
Dada a curva com equações paramétricas
e
, expresse o comprimento de arco
como uma função de
, onde
é medido a partir do ponto onde
.