Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função é simplesmente o conjunto de todos os pares
que fazem a função funcionar direitinho, sem dar nenhum erro, tipo divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra e trabalhar com desigualdades envolvendo raízes e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função que tem a raiz quadrada:
. Para que essa raiz seja real e válida, o que está dentro dela precisa ser pelo menos zero. Então, temos a condição:
Isso simplifica para:
Isso significa que os pontos
estão fora ou sobre o círculo de raio 3 (já que
) centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da função:
. Aqui temos uma fração, então precisamos garantir que o denominador não seja zero e que a raiz também seja v��lida. Primeiro, a raiz precisa ter um número positivo dentro:
Isso simplifica para:
Isso quer dizer que os pontos
estão dentro do círculo de raio 5 (já que
) centrado na origem.
Passo 4
Agora que temos duas condições:
-
(fora ou sobre o círculo de raio 3) -
(dentro do círculo de raio 5)
Precisamos encontrar os pontos que satisfazem as duas condições ao mesmo tempo. Isso significa que estamos procurando os pontos que estão entre os dois círculos: mais longe ou igual a 3 unidades do centro e menos que 5 unidades do centro.
Passo 5
Para visualizar, vamos fazer um esboço. Imagine dois círculos concêntricos (com o mesmo centro na origem):
- O círculo menor tem raio 3.
- O círculo maior tem raio 5.
O domínio da função será a área de anel entre esses dois círculos, incluindo o limite do círculo menor (porque
) mas não incluindo o limite do círculo maior (porque
).
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
tais que
. Geometricamente, isso corresponde a um anel circular centrado na origem com raio interno 3 e raio externo 5.
Exercícios relacionados
Um fluido de densidade constante, com velocidade
, escoa através da superfície
dada por
, com
,
, na direção do vetor
. Determine a massa de fluido que atravessa
.
Calcule
, sendo
e
a superfície com normal exterior da esfera representada por
Calcule
, onde
é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
.
Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções: