Um fluido de densidade constante, com velocidade , escoa através da superfície dada por , com , , na direção do vetor . Determine a massa de fluido que atravessa .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, mais especificamente sobre fluxo de um fluido através de uma superfície. Você tem um campo de velocidade do fluido dado por e uma superfície parametrizada por com e . A gente precisa calcular a massa do fluido que atravessa essa superfície na direção do vetor normal dado pelo produto vetorial das derivadas parciais de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa do fluido que passa por pode ser calculada usando a equação , onde é o fluxo do fluido e é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal através do produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando usando :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar . Primeiro, sabemos que . Substituindo as coordenadas da superfície :
Então,
Agora, fazemos o produto escalar com :
Simplificando:
Usando novamente :

Passo 6

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular a massa:
Onde é o domínio dos parâmetros e , ou seja, e .

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
Para :
Para :

Passo 8

Agora, integrando em relação a :

Resposta

A massa do fluido que atravessa a superfície é .

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