Um fluido de densidade constante, com velocidade v=(-2 x,-2 y, z), escoa através da superfície S dada por r(u, v)=(u cos v, u sen v, u^2-1), com 0 <= u <= 4, 0 <= v <= 2 pi, na direção do vetor partial rpartial u times partial rpartial v. Determine a massa de fluido que atravessa S(phi=integral duplaS f cdot n d S, com f=rho0 v).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, mais especificamente sobre fluxo de um fluido através de uma superfície. Você tem um campo de velocidade do fluido dado por v=(-2x, -2y, z) e uma superfície S parametrizada por com r(u, v) = (u cos v, u sen v, u^2 - 1) e 0 <= u <= 4. A gente precisa calcular a massa do fluido que atravessa essa superfície na direção do vetor normal dado pelo produto vetorial das derivadas parciais de 0 <= v <= 2pi.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa do fluido que passa por S pode ser calculada usando a equação phi = integral duplaS f cdot n , dS, onde f = rho0 v é o fluxo do fluido e n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de r em relação a u e v:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal n através do produto vetorial dessas derivadas:
n = partial rpartial u times partial rpartial v
Calculando o produto vetorial:
Simplificando usando :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar f cdot n. Primeiro, sabemos que f = rho0 v = rho0 (-2x, -2y, z). Substituindo as coordenadas da superfície r(u, v):
Então,
Agora, fazemos o produto escalar com x = u cos v, y = u sen v, z = u^2 - 1 :
Simplificando:
Usando novamente :
f = rho0 (-2u cos v, -2u sen v, u^2 - 1)

Passo 6

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular a massa:
phi = integral duplaS f cdot n , dS = rho0 integral duplaD (5u^3 - u) , du , dv
Onde D é o domínio dos parâmetros u e v, ou seja, 0 <= u <= 4 e 0 <= v <= 2pi.

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
phi = rho0 ( integral0^2pi integral0^4 5u^3 , du , dv - integral0^2pi integral0^4 u , du , dv )
Calculando cada integral:
Para 5u^3:
integral0^4 5u^3 , du = 5 [ u^44 ]0^4 = 5 ( 2564 - 0 ) = 5 times 64 = 320
Para u:
integral0^4 u , du = [ u^22 ]0^4 = 162 - 0 = 8

Passo 8

Agora, integrando em relação a v:
phi = rho0 ( 320 integral0^2pi dv - 8 integral0^2pi dv ) = rho0 (320 times 2pi - 8 times 2pi) = rho0 (640pi - 16pi) = rho0 times 624pi

Resposta

A massa do fluido que atravessa a superfície S é phi = 624,pi,rho0.

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