Um fluido de densidade constante, com velocidade
, escoa através da superfície
dada por
, com
,
, na direção do vetor
. Determine a massa de fluido que atravessa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, mais especificamente sobre fluxo de um fluido através de uma superfície. Você tem um campo de velocidade do fluido dado por
e uma superfície
parametrizada por com
e
. A gente precisa calcular a massa do fluido que atravessa essa superfície na direção do vetor normal dado pelo produto vetorial das derivadas parciais de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa do fluido que passa por
pode ser calculada usando a equação
, onde
é o fluxo do fluido e
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal
através do produto vetorial dessas derivadas:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando usando :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Primeiro, sabemos que
. Substituindo as coordenadas da superfície
:
Então,
Agora, fazemos o produto escalar com
:
Simplificando:
Usando novamente :
Passo 6
Agora, vamos montar a integral dupla para calcular a massa:
Onde
é o domínio dos parâmetros
e
, ou seja,
e
.
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, integrando em relação a
:
Resposta
A massa do fluido que atravessa a superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
e
a superfície com normal exterior da esfera representada por
Seja
a parte do gráfico de
, com normal exterior. Usando o Teorema de Stokes, determine
, sendo
.
Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Calcule
, onde
é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados e pelos planos
.