Calcule:
i) integral4^1(5 x-2 raizx+32x^3) d x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A matéria que estamos lidando aqui é o cálculo de integrais definidas, que faz parte do estudo do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras básicas de integração para cada termo da expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que os limites de integração estão de 4 para 1, ou seja, o limite superior é menor que o inferior. Uma propriedade importante das integrais nos diz que:
integrala^b f(x) dx = -integralb^a f(x) dx
Então, podemos reescrever a integral invertendo os limites e mudando o sinal:
integral4^1(5 x - 2 raizx + 32x^3) dx = -integral1^4(5 x - 2 raizx + 32x^3) dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é igual à soma das integrais.
  1. Para integral 5x , dx = 5 cdot x^22 = 52x^2 :
    A integral de integral -2x^1/2 , dx = -2 cdot x^3/23/2 = -43x^3/2 é integral 32x^-3 , dx = 32 cdot x^-2-2 = -16x^-2 = -16x^2 , então:
  2. Para :
    Lembrando que :
  3. Para :
    Isso pode ser escrito como :

Passo 4

Agora, juntando todas as integrais:
-[ 52x^2 - 43x^3/2 - 16x^2 ] g|1^4
Vamos substituir os limites de integração (de 1 a 4) na expressão e calcular.

Passo 5

Primeiro, calculamos para 52(4)^2 - 43(4)^3/2 - 16(4)^2 = 52 cdot 16 - 43 cdot 8 - 1616 = 40 - 323 - 1 :
40 = 1203, 1 = 33
Convertendo todos para frações com denominador 3:
1203 - 323 - 33 = 853
Então:
52(1)^2 - 43(1)^3/2 - 16(1)^2 = 52 - 43 - 16
Agora, para 52 = 156, 43 = 86, 16 = 966 :
156 - 86 - 966 = -896
Convertendo para denominador 6:
Então:

Passo 6

Agora, subtraímos os valores calculados nos limites:
-( 853 - (-896) ) = -( 853 + 896 ) = -( 1706 + 896 ) = -( 2596 ) = -2596

Resposta

-2596

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